有限数学示例

$\frac{6}{50 + 23 x^{2} - x^{4}} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

化简分母。

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解题步骤 1.1.1

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.1.1

重新排序项。

$\frac{6}{- x^{4} + 23 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

解题步骤 1.1.1.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 50 = - 50$ 并且它们的和为 $b = 23$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

从 $23 x^{2}$ 中分解出因数 $23$ 。

$\frac{6}{- x^{4} + 23 (x^{2}) + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

解题步骤 1.1.1.2.2

把 $23$ 重写为 $- 2$ 加 $25$

$\frac{6}{- x^{4} + (- 2 + 25) x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

解题步骤 1.1.1.2.3

运用分配律。

$\frac{6}{- x^{4} - 2 x^{2} + 25 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

解题步骤 1.1.1.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{6}{(- x^{4} - 2 x^{2}) + 25 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

解题步骤 1.1.1.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{6}{x^{2} (- x^{2} - 2) - 25 (- x^{2} - 2)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

解题步骤 1.1.1.4

通过因式分解出最大公因数 $- x^{2} - 2$ 来因式分解多项式。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x^{2} - 25)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

解题步骤 1.1.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x^{2} - 5^{2})} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

解题步骤 1.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

解题步骤 1.2

化简分母。

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解题步骤 1.2.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x^{3} - 5 x^{2}) + 2 x - 10}$

解题步骤 1.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{2} (x - 5) + 2 (x - 5)}$

解题步骤 1.2.2

通过因式分解出最大公因数 $x - 5$ 来因式分解多项式。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (x^{2} + 2)}$

解题步骤 2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2}) + 2)}$

解题步骤 2.2

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2}) - 1 (- 2))}$

解题步骤 2.3

从 $- 1 (- x^{2}) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$

解题步骤 3

要将 $\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{- 1}{- 1}$ 。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$

解题步骤 4

要将 $- \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}$

解题步骤 5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1$ 的形式。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$ 乘以 $\frac{- 1}{- 1}$ 。

$\frac{6 \cdot - 1}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}$

解题步骤 5.2

将 $\frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$ 乘以 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 。

$\frac{6 \cdot - 1}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1} - \frac{3 (x + 5)}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)}$

解题步骤 5.3

重新排序 $(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1$ 的因式。

$\frac{6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3 (x + 5)}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)}$

解题步骤 5.4

重新排序 $(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)$ 的因式。

$\frac{6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3 (x + 5)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{6 \cdot - 1 - 3 (x + 5)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

从 $6 \cdot - 1 - 3 (x + 5)$ 中分解出因数 $- 3$ 。

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解题步骤 7.1.1

将 $6 \cdot - 1$ 和 $- 3 (x + 5)$ 重新排序。

$\frac{- 3 (x + 5) + 6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

解题步骤 7.1.2

从 $6 \cdot - 1$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$\frac{- 3 (x + 5) - 3 (- 2 \cdot - 1)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

解题步骤 7.1.3

从 $- 3 (x + 5) - 3 (- 2 \cdot - 1)$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$\frac{- 3 (x + 5 - 2 \cdot - 1)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

解题步骤 7.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3 (x + 5 + 2)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

解题步骤 7.3

将 $5$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 3 (x + 7)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

解题步骤 8

化简项。

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解题步骤 8.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{3 (x + 7)}{((- x^{2} - 2) (x + 5)) (x - 5)}$

解题步骤 8.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (x + 7)}{(- (x^{2}) - 2) (x + 5) (x - 5)}$

解题步骤 8.3

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{3 (x + 7)}{(- (x^{2}) - 1 (2)) (x + 5) (x - 5)}$

解题步骤 8.4

从 $- (x^{2}) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (x + 7)}{- (x^{2} + 2) (x + 5) (x - 5)}$

解题步骤 8.5

重写负数。

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解题步骤 8.5.1

将 $- (x^{2} + 2)$ 重写为 $- 1 (x^{2} + 2)$ 。

$\frac{3 (x + 7)}{- 1 (x^{2} + 2) (x + 5) (x - 5)}$

解题步骤 8.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 (x + 7)}{((x^{2} + 2) (x + 5)) (x - 5)}$

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